Савет 1: Како изводити средњу формулу троугла

Наука

Савет 1: Како изводити средњу формулу троугла

Медијана у троуглу је сегмент који се извлачи са врха угла до средине супротне стране. Да бисте пронашли дужину медијани, неопходно је користити формулу за изражавање на свим странама троугао, што није тешко закључити.

Инструкције

Да закључим формула за медијани у произвољном троуглу, неопходно је окренути ка последици косиновог теорема за паралелограм добијен комплетирањем троугао. Формула се може доказати на овој основи, врло је погодна за рјешавање проблема ако су све дужине страница познате или се лако могу наћи од других иницијалних података о проблему.

У ствари, косинусна теорема је генерализација теорема Питагорејске. Звучи овако: за дводимензионално троугао са дужинама страница а, б и ц и угао α, супротне стране а, одржава се сљедећа једнакост: а² = б² + ц² - 2 • б • ц • цос α.

Генерализирајућа последица косиновог теорема одређује једно од најважнијих својстава четвороугла: збир квадрата дијагонала је једнак збиру квадрата свих његових страна: д1² + д2² = а² + б² + ц² + д².

Решите проблем: нека све стране буду познате у произвољном троуглу АБЦ, пронађите његов средњи БМ.

Испуните троугао паралелограма АБЦДдодавање линија паралелно са а и ц. Тако је формирана фигура са странама а и ц и дијагонала б. Најприкладнији начин његовог изградње је следећи: на наставку равне линије којој припада средња, постпипе МД исте дужине, повеже своју вертиксу са вертикалама преостале двије стране А и Ц.

Под именом паралелограма дијагонала се делитачка пресека на једнаке делове. Примијенити узрок косинског теорема, према којем је збир квадрата паралелограма дијагонала једнак суму двоструких квадрата његових страна: БК² + АЦ² = 2 • АБ² + 2 • БЦ².

Како је БК = 2 • БМ и БМ је средња вредност м, онда: (2 • м) ² + б² = 2 • ц² + 2 • а², одакле: м = 1/2 • √ (2 • ц² + 2 • а² - б²).

Повукли сте се формула један од медијана троугао за страну б: мб = м. Слично томе постоје медијани његова друга страна: ма = 1/2 • √ (2 • ц² + 2 • б²-а²); мц = 1/2 • √ (2 • а² + 2 • б²-ц²).

Савет 2: Како пронаћи медијану троугла

Средњи троугао Сегмент који повезује било коју тачку троугао са средином супротне стране. Три медијана се пресецају у једном тренутку увек изнутра троугао. Ова тачка дели свако медиан у односу 2: 1.

Инструкције

Медијана се може наћи помоћу Стевартове теореме. Према томе, квадрат медијана је једнак четвртини суме двоструких страних квадрата минус квадрата стране на коју се извлачи средња. Мц ^ 2 = (2а ^ 2 + 2б ^ 2 - ц ^ 2) / 4, где су а, б, ц стране троугао.мц је средња са другом;

Проблем проналажења медијана може се решити додатним конструкцијама троугао до паралелограма и решења преко теорема на дијагоналама паралелограма. троугао и медиан, довршавајући их на паралелограм. Према томе, средња вредност троугао биће једнака пола дијагонале резултујућег паралелограма, две стране троугао - његове стране (а, б), и треће стране троугао, на који је средња изведена, јестедобијена друга дијагонала паралелограма. Према теореми, збир квадрата дијагонала паралелограма је једнака двострукој збир квадрата свог сторон.2 * (а ^ 2 + б ^ 2) = д1 ^ 2 + д2 ^ 2, гдед1, д2 - дијагонала добијеног паралелограма, отуда: д1 = 0,5 * в ( 2 * (а ^ 2 + б ^ 2) - д2 ^ 2)

Савет 3: Како пронаћи средину троугла са његових страна

Медијана је сегмент који повезује вертек троугао и средином супротне стране. Знајући дужине свих три стране троугао, можете пронаћи његове медијанте. У конкретним случајевима једнакости и једнакостраности троугао, очигледно, довољно знања, односно два (не једнака једна другој) и једној страни троугао.

Требаће вам

Владар

Инструкције

Размотримо најопштији случај троугао АБЦ са три не једнака једна другој стране. Дужина медијског АЕ овога троугао може се израчунати из формуле: АЕ = скрт (2 * (АБ ^ 2) + 2 * (АЦ ^ 2) - (БЦ ^ 2)) / 2. Преостали медијани су потпуно аналогни. Ова формула је изведена преко Стевартове теореме, или кроз конструкцију троугао пре паралелограма.

Ако је трокут АБЦ изједначен и АБ = АЦ, онда ће средња АЕ бити и висина ове троугао. Сходно томе, троугао БЕА ће бити правоугаоног. Према Питхагореановом теорему, АЕ = скрт ((АБ ^ 2) - (БЦ ^ 2) / 4). Из опште формуле за дужину медијана троугао, за медијане БО и ЦП важи: БО = ЦП = скрт (2 * (БЦ ^ 2) + (АБ ^ 2)) / 2.

Ако је троугао АБЦ једнакостран, онда су очигледно да су сви медијани једнаки једни другима. Пошто је угао на тачки једнакостраног троугао је једнак 60 степени, онда је АЕ = БО = ЦП = а * скрт (3) / 2, где а = АБ = АЦ = БЦ - дужина стране једнакостраног троугао.

Савет 4: Како пронаћи средњу дужину

Медијана је сегмент који повезује титуле троугла и средине супротне стране. Знајући дужине све три стране троугла, можете га наћи медијани. У посебним случајевима равноправних иЈедноставни троугао, очигледно, довољно је знати, дакле, два (не једнака једна другој) и једну страну троугла. Медијана се може наћи и из других извора.

Требаће вам

Дужине страна троугла, углови између страна троугла

Инструкције

Размотримо најопштији случај троугла АБЦ са три стране које нису једнаке једна другој. Дужина медијани АЕ овог троугла може се израчунати по формули: АЕ = скрт (2 * (АБ ^ 2) + 2 * (АЦ ^ 2) - (БЦ ^ 2)) / 2. Остатак медијани апсолутно су аналогни. Ова формула је изведена помоћу Стевартове теореме, или путем завршетка троугла на паралелограм.

Ако је трокут АБЦ изједначен и АБ = АЦ,онда ће средњи АЕ бити и висина овог троугла. Сходно томе, троугао БЕА ће бити правоугаоног. Према Питхагореановом теорему, АЕ = скрт ((АБ ^ 2) - (БЦ ^ 2) / 4). Из опште формуле дужине медијани троугао, за медијане БО и ЦП је валидан: БО = ЦП = скрт (2 * (БЦ ^ 2) + (АБ ^ 2)) / 2.

Ако је троугао АБЦ једнакостран, онда је очигледно све то медијани су једнаки једни другима. Пошто је угао на тачки једнакостраничног троугла 60 степени, онда је АЕ = БО = ЦП = а * скрт (3) / 2, гдје је а = АБ = АЦ = БЦ је дужина стране једнакостраничног троугла.

Медијана троугла може се наћи и из другихподаци. На пример, ако су дате дузине две стране, од којих је једна средња, направљена, на пример, дузине страна АБ и БЦ, као и угао к измедју њих. Затим, дужину медијани може се наћи у смислу косиновог теорема: АЕ = скрт ((АБ ^ 2 + (БЦ ^ 2) / 4) -АБ * БЦ * цос (к)).

Савет 5: Како пронаћи средњу дужину у троуглу

Средњи део троугла је сегмент који је нацртаоод било ког од његових вертикала до супротне стране, подијеливши их на дијелове једнаке дужине. Максималан број медијана у троуглу је три, у смислу броја врхова и страна.

Инструкције

Проблем 1. У произвољном троуглу АБД, средња БЕ се изводи. Нађите његову дужину ако је познато да су стране АБ = 10 цм, БД = 5 цм и АД = 8 цм.

Решење.Примените средњу формулу са изразом на свим странама троугла. То је једноставан проблем, јер су познате све дужине страна: БЕ = √ ((2 * АБ ^ 2 + 2 * БД ^ 2 - АД ^ 2) / 4) = √ ((200 + 50 - 64) / 4) = √ 46,5) ≈ 6,8 (цм).

Задатак 2.У трикотнику АБД са једнаким бројем, стране АД и БД су једнаке. Медијана је извучена од вертекса Д до стране БА, и чини угао са БА једнаком 90 °. Нађите средњу дужину ДХ, ако је познато да БА = 10 цм, а угао ДБА је 60 °.

Решење.Да бисте пронашли медијана одредити неку БД или АД и једнаке стране троугла. Да бисте то урадили, узмите у обзир један од правоугаоних троуглова, рецимо БДХ. Из дефиниције медијане следи да БХ = БА / 2 = 10/2 = 5. Прона БД ка тригонометријском формули својстава правоуглом троуглу - БД = БХ / син (ДБХ) = 5 / син60 ° = 5 / (√3 / 2 ) ≈ 5.8.

Сада постоје две опције за проналажење медијана: према формули користи у првом задатку и Питагорине теореме за правоуглог троугла БДХ: ДХ ^ 2 = БД ^ 2 - БХ ^ 2.ДХ ^ 2 = (5,8) ^ 2 - 25 ≈ 8,6 (цм).

Проблем 3. У арбитрарном троуглу БДА се врше три медијана. Пронађите своје дужине ако је познато да је висина ДК 4 цм и подијелити базу у сегменте дужине БК = 3 и КА = 6.

Решење.Дужине свих страна су потребне да пронађу медијане. Дужина БА може се наћи из стања: БА = БХ + ХА = 3 + 6 = 9. Размотримо правоугаони троугао БДК. Према Питхагореановом теорему, пронађите дужину хипотенузе БД: БД ^ 2 = БК ^ 2 + ДК ^ 2; БД = √ (9 + 16) = √25 = 5.

Слично томе, пронађите хипотенузу правог троугла КДА: АД ^ 2 = ДК ^ 2 + КА ^ 2; АД = √ (16 + 36) = √52 ≈ 7.2.

Из израза формуле преко страна, пронађитемедијани: БЕ ^ 2 = (2 * БД ^ 2 + 2 * БА ^ 2 - АД ^ 2) / 4 = (50 + 162 - 51.8) / 4 ≈ 40, стога БЕ ≈ 6.3 (цм). ДХ ^ 2 = (2 * БД ^ 2 + 2 * АД ^ 2 - БА ^ 2) / 4 = (50 + 103,7 - 81) / 4 ≈ 18,2, отуда ДХ ≈ 4,3 (цм). АФ ^ 2 = (2 * АД ^ 2 + 2 * БА ^ 2 - БД ^ 2) / 4 = (103,7 + 162 - 25) / 4 ≈ 60, отуда АФ ≈ 7,8 (цм).